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Clang & Wasm 教學

C語言補充教材 - 一元二次方程式的求解

Quadratic Equation Solver

數學背景複習：一元二次方程式是什麼？

在國中數學中，一元二次方程式指的是如下形式的方程式：

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

其中：

  • a$、$b$、$c 為實數常數，且 a≠0a \neq 0
  • xx 是未知數
  • 解這個方程式的目的是找出 xx 的值，使整個等式成立。

✅ 解法：求根公式（又稱判別式法）

我們使用以下公式來求解方程式的根（也就是 xx 的值）：

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

其中：

  • b2−4acb^2 - 4ac 被稱為判別式（discriminant），記為 DD
  • 根據判別式的值，我們有以下三種情況：
判別式 DD 根的情況
D>0D > 0 兩個不相等的實數根
D=0D = 0 兩個相等的實數根（重根）
D<0D < 0 無實數解（為複數根）
✳️ 一元二次方程式的求根公式（判別式法）推導

我們從一元二次方程式的一般形式開始：

ax2+bx+c=0（其中 a≠0）ax^2 + bx + c = 0 \quad \text{（其中 } a \ne 0 \text{）}

🔄 Step 1：將兩邊同除以 aa

目的是讓前面的係數變成 1，方便操作：

x2+bax+ca=0x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

🧩 Step 2：移項，把常數項移到等號右邊

x2+bax=−cax^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

🟨 Step 3：左右兩邊同時「配方」（Completing the square）

我們想讓左邊變成一個完整的平方：

  • 取 (b2a)2\left( \frac{b}{2a} \right)^2 加到左右兩邊：
x2+bax+(b2a)2=−ca+(b2a)2x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2

🧮 Step 4：化簡兩邊

左邊是一個平方公式：

(x+b2a)2=b2−4ac4a2\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

🧾 Step 5：開根號並解出 x

x+b2a=±b2−4ac2ax + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

🔚 Step 6：移項得出「求根公式」

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

這就是我們熟悉的 一元二次方程式解公式。

🧠 判別式 D=b2−4acD = b^2 - 4ac 的角色

在公式中，根號裡的那部分 b2−4acb^2 - 4ac 決定了解的性質，我們稱它為「判別式」，記為 DD：

  • 若 D>0D > 0：有兩個不相等的實數根
  • 若 D=0D = 0：有一個實數重根
  • 若 D<0D < 0：沒有實數根（出現虛數）

📌 小提示（適合寫在黑板或投影片上）

「公式不是硬背來的，它來自基本的代數技巧 —— 配方法（completing the square）！」

這樣的理解能幫助學生不只是「套公式」，而是真正知道它的來源，也能應用在其他需要配方的地方（例如拋物線頂點公式的推導等）。

如果你有需要，我可以幫你把這段轉成簡報、或加上手寫風格圖解。是否需要圖示或 LaTeX PDF 格式教材？

💻 C語言實作：求解一元二次方程式

🔧 步驟說明

  1. 輸入係數 a$、$b$、$c
  2. 計算判別式 D=b2−4acD = b^2 - 4ac
  3. 根據 DD 的值分類討論並求出解

✅ 範例程式碼：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double a, b, c;
    double discriminant, root1, root2;

    printf("輸入一元二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 的係數 a, b, c：\n");
    scanf("%lf %lf %lf", &a, &b, &c);

    if (a == 0) {
        printf("這不是一元二次方程式，因為 a 不能為 0。\n");
        return 1;
    }

    discriminant = b * b - 4 * a * c;

    if (discriminant > 0) {
        root1 = (-b + sqrt(discriminant)) / (2 * a);
        root2 = (-b - sqrt(discriminant)) / (2 * a);
        printf("有兩個不同的實數根：x1 = %.2lf, x2 = %.2lf\n", root1, root2);
    } 
    else if (discriminant == 0) {
        root1 = -b / (2 * a);
        printf("有一個重根：x = %.2lf\n", root1);
    } 
    else {
        double realPart = -b / (2 * a);
        double imagPart = sqrt(-discriminant) / (2 * a);
        printf("無實數解，為複數根：\n");
        printf("x1 = %.2lf + %.2lfi\n", realPart, imagPart);
        printf("x2 = %.2lf - %.2lfi\n", realPart, imagPart);
    }

    return 0;
}
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