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Clang & Wasm 教學

C語言補充教材 - 二元一次方程式的聯立求解

Solving Simultaneous Linear Equations

🧠 國中數學複習：什麼是「二元一次聯立方程式」？

所謂二元一次方程式，是指包含兩個未知數（通常為 xx 和 $y$）的一次方程式。

例如：

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

這種形式就是一組二元一次聯立方程式。

✅ 解法：代入法 or 加減法 or 行列式法

這裡我們會使用「克拉默法則（Cramer's Rule）」，因為它的形式容易轉換成 C 程式實作。

📐 Cramer’s Rule（克拉默法則）

給定以下兩個方程式：

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

定義三個行列式：

  • 主行列式（判別式）：

    D=a1b2−a2b1D = a_1b_2 - a_2b_1

  • xx 的行列式：

    Dx=c1b2−c2b1D_x = c_1b_2 - c_2b_1

  • yy 的行列式：

    Dy=a1c2−a2c1D_y = a_1c_2 - a_2c_1

若 D≠0D \ne 0，則有唯一解：

x=DxD,y=DyDx = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}
✳️ 🧠 克拉默法則（Cramer's Rule）詳細補充

✳️ 問題設定

我們想解這樣的一組聯立方程式：

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

我們目標是求解 xx 和 yy。

🧩 代數背景：為什麼行列式能解聯立方程式？

其實這是線性代數中的一個重要結果：

AX=CAX = C

其中：

  • AA 是係數矩陣（2×2）：

    A=[a1b1a2b2]A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}

  • XX 是未知變數向量：

    X=[xy]X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

  • CC 是常數項向量：

    C=[c1c2]C = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}

若 det⁡(A)≠0\det(A) \ne 0，則方程組有唯一解，可以寫為：

X=A−1CX = A^{-1}C

但 Cramer's Rule 是一種更直觀、不需算出 A−1A^{-1} 的方式。

🧮 Cramer’s Rule 正式定義

  1. 主行列式 DD：

    D=a1b2−a2b1D = a_1b_2 - a_2b_1

    這就是係數矩陣的 determinant（行列式）。

  2. 將第一欄換成常數項，算出 DxD_x：

    Dx=c1b2−c2b1D_x = c_1b_2 - c_2b_1

  3. 將第二欄換成常數項，算出 DyD_y：

    Dy=a1c2−a2c1D_y = a_1c_2 - a_2c_1

  4. 解為：

    x=DxD,y=DyDx = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}

🔍 為什麼這樣做是對的？

行列式的幾何意義是「平行四邊形面積」，當 D≠0D \ne 0 時，代表兩條直線（或向量）不平行，一定有唯一交點；這時 Cramer's Rule 就會給出精確交點座標。

📝 例題說明（搭配程式）

給定：

{2x+3y=84x−y=2\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x - y = 2 \end{cases}

計算：

  • D=2∗(−1)−4∗3=−2−12=−14D = 2*(-1) - 4*3 = -2 - 12 = -14
  • Dx=8∗(−1)−2∗3=−8−6=−14D_x = 8*(-1) - 2*3 = -8 - 6 = -14
  • Dy=2∗2−4∗8=4−32=−28D_y = 2*2 - 4*8 = 4 - 32 = -28

則：

  • x=−14/−14=1x = -14 / -14 = 1
  • y=−28/−14=2y = -28 / -14 = 2

驗證：

  • 2(1)+3(2)=2+6=82(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8
  • 4(1)−2=24(1) - 2 = 2

✅ 正確。

🧠 記憶口訣小技巧

  • D 是原本的係數交叉相減
  • D_x 是把 x 那欄換成右邊的 c₁c₂，再交叉相減
  • D_y 是把 y 那欄換成右邊的 c₁c₂，再交叉相減

💻 C語言實作：使用行列式法求解聯立方程式

✅ 範例程式碼：

#include <stdio.h>

int main() {
    double a1, b1, c1;
    double a2, b2, c2;
    double D, Dx, Dy, x, y;

    printf("請輸入第一個方程式的係數 a1, b1, c1（格式：a1x + b1y = c1）：\n");
    scanf("%lf %lf %lf", &a1, &b1, &c1);

    printf("請輸入第二個方程式的係數 a2, b2, c2（格式：a2x + b2y = c2）：\n");
    scanf("%lf %lf %lf", &a2, &b2, &c2);

    D = a1 * b2 - a2 * b1;

    if (D == 0) {
        printf("這組方程式無唯一解（可能無解或有無限多組解）。\n");
    } 
    else {
        Dx = c1 * b2 - c2 * b1;
        Dy = a1 * c2 - a2 * c1;
        x = Dx / D;
        y = Dy / D;

        printf("解為：x = %.2lf, y = %.2lf\n", x, y);
    }

    return 0;
}
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